Кокшенов родился в 1936 году в Москве. В 1957 году он выучился на инженера и некоторое время работал по специальности. Однако уже в те годы он начала пробовать себя на актерском поприще, снявшихся в эпизодических ролях в фильмах «Высота» и «Девчата». В 1963 году окончил Театральное училище имени Б. В. Щукина, сообщает «МК».
Михаил Кокшенов снялся в более чем 100 советских и российских лентах. В основном он играл комичных персонажей. Среди наиболее известных фильмов с его участием — «Не может быть!», «Спортлото-82», «На Дерибасовской хорошая погода, или На Брайтон-Бич опять идут дожди», «Гараж» и «Шырли-мырли».
Также актер не раз снимался в выпусках киножурнала «Ералаш».
Гродненцам Михаил Кокшенов хорошо известен по старой доброй комедии «Белые Росы», где актер сыграл Сашку Ходаса.